Série d'examens+Solution

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Série d’examens d’asservissement

Examen N⁰01

Exercice 01(Questions de cours et TP) :

Comment peut-on juger qu’un système est stable ?
Donner les différents critères utilisés pour étudier la stabilité.
Donner la définition de : un capteur, un actionneur, un amplificateur.

Exercice 02 :

Soit le système du 1^ier ordre :

· Donner sa réponse s(t), pour une entrée échelon unitaire ;
· Donner l’allure de sa réponse pour un entrée échelon unitaire ;
· Déterminer le temps de réponse ;
· Donner l’équation de ta tangente a l’origine.

Exercice 04:

1. Résoudre l’équation différentielle suivante, en utilisant la transformée de Laplace ;.

2. A partir de l’équation différentielle suivante :

Déterminer :

Le gain statique.
La fréquence propre non amortie.
Le facteur d’amortissement.

Problème:

On considère le système asservi représenté dans la Figure -1-, dans le quel on suppose que le moteur est commandé par l’induit (de résistance r et des self inductance négligeable).

Soit :k : coefficient de couple et force contre électromotrice du moteur.

J₁: le moment d’inertie du rotor ;

f₁: le coefficient de ses frottements visqueux ;

U : la tension appliquée a l’induit du moteur, et i le courant qui le traverse.

L’arbre du moteur, dont la position est repérée par un angle θ_m entraînée par l’intermédiaire de réducteur de rapport 1/n et (n>1) une charge mécanique dont la position est repérée par un angleθ_s.

I_m représente le couple délivré par le moteur, et J₂, f₂ le moment d’inertie et le coefficient des frottements visqueux de la charge.

Les potentiomètres supposés linéaire et identique, sont alimentés par une tension E₀, leur course et θ₀Є [0,2Π]

I. Représenter le système de la figure -1- par son schéma fonctionnel (tel que G(p)est la fonction de transfert du moteur+réducteur+charge).

II. On donne les équations du système en variable de temps

a) Déterminer la fonction de transfert

b) Calculer la constante de temps du système moteur+charge+réducteur.

c) Calculer le gain en amplitude du système.

d) Déterminer la fonction de transfert en boucle ouvert et la mettre sous la forme tel que K^’ et τ >0

e) Construire le diagramme d’amplitude et de phase de T(jω)dans le plan de BODE.

f) Tracer l’allure du lieu de NYQUIST.

g) Déterminer la stabilité du système en utilisant le critère de ROUTH.

h) Calculer les erreurs statiques (stationnaires) du premier, du second ordre et du troisième ordre E(p)=1/p .

Applications Numériques :

r =500Ω n=200

K=Fem=0.3 MKSA A=218

J₁=40g.cm² E₀=50V

J₂=0.2Kg.m²

NB : On néglige les coefficients des frottements visqueux.

Examen N⁰02

Exercice 01 :

Soit un système décrit par un modèle mathématique, sous forme d’équation différentielle:

· Résoudre l’équation différentielle par la méthode de transformation de Laplace ; les conditions initiales sont nulles.

Exercice 02 :

La réponse d’un système invariant linéaire, initialement on repos, au signal :

, u(t) : échelon unitaire

1. Quelle est la fonction de transfert H(p) ?

2 Quelle est la réponse du système h(t), à une impulsion unitaire?, et tracer son allure.

Exercice 03 :

Soit le système de fonction de transfert :

1. mettre le système sous la forme de deux systèmes du 1^ier ordre.

2. déterminer et représenter les pôles et les zéros dans le plan complexe.

3. on applique au système une entrée à un échelon unitaire u(t) :

· exprimery(t) ; et évaluer y(0), et y(t) quand t tend vers l’infinie.
· Etudier la variation de y(t),et représenter graphiquement l’évolution de la sortie.

Exercice 04 :

En utilisant la transformée de la place trouver la solution de l’équation suivante :

Avec les conditions initiale suivantes :

On donne :

Exercice 05 :

Tracer le diagramme de Bode en gain et en phase de la fonction de transfert :

On donne : log10 (2)=0.301, log₁₀ (10)=1, log₁₀ (11)=1.041, log₁₀ (220)=2.342.

Exercice 06:

Soit la boucle de transfert du système en boucle fermée :

1. Déterminer la fonction de transfert du système en boucle fermée.

2. calculer K pour que le système en boucle fermée soit stable (critère de ROUTH)

Solution de la série d’examens d’asservissement

Examen N⁰01

Exercice 01(Questions de cours et TP) :

Les différents critères utilisés pour étudier la stabilité sont le critère de ROUTH et le lieu de Nyquist.
Un actionneur : c’est l’élément qui commande le systèmeà asservir, il travail souvent a puissance élevé.
Un comparateur :c’est un élément très important, il permet d’effectuer une comparaison entre des tensions d’entrées et de sorties.
Un amplificateur : c’est l’élément souvent utiliser pour Amplifier les tensions de sorites des comparateurs des système asservis, avec un gain bien déterminer.

Exercice 02 :

En décomposant S(p) en éléments simples.

· L’allure se s(t) :

Le temps de réponse t_r?

Equation de la tangente à l’origine :

Exercice 03:

1. l’équation différentielle :

En appliquant la transformée de Laplace on obtient :

Bien que l’équation donnée ne soit pas linéaire, ou le terme e^-2t (comme une équation) n’est pas du premier degré ; on peut la traiter comme une équation linéaire si on pose arbitrairement x(t)= e^-2t, et si on traite x comme une deuxième variable dépendante, représente le signal d’entrée. Dans ce cas on résout l’équation :

(Voire chapitre IV…système du 2^ieme ordre pour plus d’explications)

Le système fondamental est :

La solution est :

Avec les conditions initiales :

Donc la solution

(Voire chapitre IV…système du 2^ieme ordre pour plus d’explications)

Solution particulière :

On remplace dans l’équation on obtient :

On pose

L’équation devient :

· Le gain statique : c’est le gain statique.

· La fréquence propre non amortie.

L’équation(2) s’écrit sous la forme standard

Par identification : pulsation naturelle non amortie,

Pulsation naturelle amortie

· Le facteur d’amortissement.

C’est le coefficient d’amortissement, et il est .

Problème:

II. En utilisant la Transformée de Laplace des équations du système, on obtient :

a. En combinant les équations, on trouve

b. Par identification avec la forme standard, on trouve la constante de temps du système :

c. le gain en amplitude du système :

d. la fonction de transfert en boucle ouvert du potentiomètre de sortie

La fonction de transfert en boucle ouvert de l’asservissement est la suivante :

Si on pose :

e. le diagramme d’amplitude et de phase de T(jω)dans le plan de BODE.

Tel que K=28.91 et τ=0.05

Vous notez que nous avons deux terme, l’un et de la forme Kω^αet l’autre de la forme (1+jωτ)^β^.

C’est plus pratique de faire l’étude séparer des deux termes et leurs tracés puis faire la somme de ces deux tracés; mais on peut aussi faire l’étude des deux termes simultanément.

(Voire chapitre VI…Détermination des diagrammes d’amplitude et de phase des différents termes… pour plus d’explications)

L’étude du terme K(jω)^-1 tel que K=28.91

Cette droite coupe l’axe (0dB) en un point ω₀=K=28,91

Pour ω=1, A_dB=K_dB.

φ=-90

L’étude du terme (1+jωτ)^-1 tel que τ=0.05

2^iemeasymptote qui coupe l’axe (0dB)à la pulsation de cassure ω=1/τ =20.

La pulsation réelle égale à3dB.

Le diagramme de phase du terme (1+jωτ)^-1est la courbe :

Soit

Quand :

Pour ω=1/τ

Donc

f. Tracer l’allure du lieu de NYQUIST.

g. La stabilité du système en utilisant le critère de ROUTH.

Nous avons la fonction de transfert, de la quelle on détermine l’équation caractéristique

On forme le tableau de ROUTH

(Voire chapitre VII ; Stabilité des systèmes asservis ; Critère de ROUTH; pour plus d’explications)

On ne trouve pas de changement de signe dans la colonne du tableau, alors le système est stable.

h. Calcule des erreurs statiques (stationnaires) du premier, du second ordre et du troisième ordre. si E(p)=1/p .

L’erreur statistique du 1^ier ordre :

L’erreur statistique du 2^ieme ordre :
L’erreur statistique du 3^ieme ordre :

Examen N⁰02 :

Exercice 01 :

Par application direct de la transformée de Laplace sur l’équation différentielle:

Par la décomposition en éléments simples on obtient :

Exercice 02 :

La réponse d’un système invariant linéaire, initialement En repos, au signal :

1. Par simplification on trouve :

2. Par la décomposition en éléments simple de H(p) en trouve :

Exercice 03 :

Par la décomposition en éléments simple, on obtient :

2. Les pôles et les zéros :

3. u(t)est un échelon unitaire.

La réponse varie d’abord d’une pente négative puis sur l’évolution normale.

Exercice 04 :

On décompose le 1^ier élément de Y (p).

On pose

Par identification :

Donc :

D’où :

Exercice 05 :

Le tracer de Bode (en gain et en phase) :

Amplitude A_FdB

L’étude du terme (1+jωτ)^-1 tel que τ=0.5

2^iemeasymptote qui coupe l’axe (0dB)à la pulsation de cassure ω=1/τ =2 rd/s.

La pulsation réelle égale à3dB.

Le diagramme de phase du terme (1+jωτ)^-1est la courbe :

Soit

Quand :

Pour ω=1/τ

Donc

L’étude du terme (1+jωτ)^-1 tel que

2^iemeasymptote qui coupe l’axe (0dB)à la pulsation de cassure ω=1/τ =11 rd/s.

La pulsation réelle égale à3dB.

Le diagramme de phase du terme (1+jωτ)^-1est la courbe :

Soit

Quand :

Pour ω=1/τ

Donc

Exercice 06:

1. Détermination de la fonction de transfert du système en boucle fermée.

D’où la fonction de transfert en boucle fermée est :

2. La valeur de K pour que le système en boucle fermée soit stable :

P³

1

2

0

P²

3

K

0

P¹

C₃₁

C₃₂

p⁰

C₄₁

C₄₂

Rappelant que Pour que l’équation caractéristique ne possède que des racines a parties réelles négatives, il faut et il suffit que tous les termes de la première colonne de la table de ROUTH soient du même signe. Le nombre de changement de signe correspond au nombre de racines à parties réelles positives.

Alors pour Il n’y aurai aucun changement de signe dans la première colonne de la table de ROUTH, qui donc un système est stable. Il faut que 6-K > 0 et K > 0, alors 0<K<6 ; en autre terme il faut que pour que ce système soit stable.

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