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Rappels de mathématique

I.  Définition de la transformée de Laplace :

On appelle transformée de Laplace de f et notée F, ou encore Lf,la fonction définie sur l’ensemble des nombres complexes p tels que Re (P) > a par la formule :

…… (1)

     Propriétés :

La linéarité de l’intégrale montre que la transformation de Laplace est linéaire :

 …… (2)

II. Applications :

1.  Fonction de HEAVISIDE ou échelon unité :

La fonction constante et égale à 1 n’admet pas de transformée de Laplace puisqu’elle n’est pas intégrable sur l’intervalle ]-∞, +∞ [  ,  c’est pourquoi l’on introduit la fonction ε (t) de HEAVISIDE, ou échelon unité, définie par :

Donc :

D’où

2.  Cas de fonction périodique :

Chercher la transformée de Laplace du signale rectangulaire de période T définie par :

La formule générale s’écrit :

III.    Exercices :

Calculer les transformées de Laplacede f(t)=cos(wt) et g(t)=sin(wt) sachant que :

On tire :

III.1 : F(p)= ?

D’où :

III.2 :G(p)= ?

D’où :

IV.    Propriétés des transformées de Laplace :

   1.   Théorème de la dérivation :

Pour déterminer la transformée de Laplace de la dérivée de x(t), ou on a :

Finalement :

D’où : 

Application:      x(t)=

Déterminer        

     2.  Théorème des transformées de Laplace :

Soitx(t),

L[x(t)]=X(p),

Si          

Selon le théorème de la dérivation :

                                    X(p) = p Y(p) - y(0)

D’où :

V.  Tableau des transformées de Laplace :

x(t) X(p) 1 1 T

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